一文读懂 RSA 加密：从数学原理到实际应用

在 HTTPS、电子签名、区块链等现代网络安全场景中，RSA 加密算法几乎无处不在。作为非对称加密的经典代表，它解决了对称加密（如 AES）中 “密钥传递不安全” 的核心痛点。但很多人提到 RSA 就联想到复杂的数学公式，其实只要抓住核心逻辑，理解起来并不难。

本文将从 “数学基础→密钥生成→加密解密→安全性原理” 四个维度，用通俗语言 + 实例拆解 RSA，让你不仅知其然，更知其所以然。

一、先搞懂 3 个核心数学概念（无公式恐惧）

RSA 的数学逻辑基于数论，但无需深入研究理论，只需掌握以下 3 个关键概念，就能理解后续所有步骤。

1. 质数与互质：RSA 的 “积木”

• 质数（素数）：只能被 1 和自身整除的大于 1 的整数（如 2、3、5、7、11…）。RSA 的安全根基，就建立在 “大质数的乘积难以分解” 这一特性上。
• 互质：两个数的最大公约数（GCD）为 1，即除了 1 之外没有其他共同约数。比如 4 和 9 互质（GCD (4,9)=1），但 4 和 6 不互质（GCD (4,6)=2）。

2. 欧拉函数 φ(n)：RSA 的 “桥梁”

欧拉函数 φ(n) 的定义很简单：小于 n 且与 n 互质的正整数的个数。

在 RSA 中，n 是两个不同质数 p 和 q 的乘积（n=p×q），此时欧拉函数有一个 “简化公式”（无需逐个计数）：
φ(n) = (p-1) × (q-1)

为什么？因为：

• 质数 p 的欧拉函数 φ(p)=p-1（所有小于 p 的数都和 p 互质）；
• 若 p 和 q 是不同质数（必然互质），则 φ(p×q)=φ(p)×φ(q)（欧拉函数的乘法性质）。

举个例子：若 p=3，q=11，则 n=33，φ(33)=(3-1)×(11-1)=2×10=20。意思是 “小于 33 且与 33 互质的数有 20 个”（如 2、4、5、7…）。

3. 模逆：RSA 的 “钥匙配对器”

若满足 (e × d) mod φ(n) = 1，则称 d 是 e 关于 φ(n) 的 “模逆”。

通俗解释：e 乘以 d 的结果，除以 φ(n) 后余数是 1。比如 φ(n)=20，若 e=7，那么 d=3（因为 7×3=21，21 mod 20=1），即 3 是 7 关于 20 的模逆。

这里有个关键前提：只有当 e 和 φ(n) 互质时，e 的模逆 d 才存在—— 这是后续选择公钥 e 的核心依据。

二、RSA 核心三步：生成密钥→加密→解密（附实例）

为了让过程更直观，我们用 “小质数举例”（实际应用中质数是几百位的大整数，否则不安全），完整走一遍 RSA 的流程。

步骤 1：生成公钥（可公开）和私钥（需保密）

这是 RSA 的核心步骤，所有操作围绕 “生成一对匹配的密钥” 展开，共 4 小步：

1. 选两个不同的大质数 p 和 q
   简化示例：选 p=3，q=11（实际中 p 和 q 由计算机随机生成，且长度≥100 位）。
2. 计算 n = p × q
   n 是公钥和私钥的 “公共部分”，也是后续加密 / 解密的 “模”。
   示例：n=3×11=33。
3. 计算欧拉函数 φ(n) = (p-1) × (q-1)
   示例：φ(33)=(3-1)×(11-1)=2×10=20。
4. 选公钥 e，算私钥 d
   • 选 e：需满足两个条件：① 1 <e < φ(n)；② e 与 φ(n) 互质。
     示例中 φ(n)=20，可选 e=7（7<20，且 GCD (7,20)=1，满足条件）。
   • 算 d：d 是 e 关于 φ(n) 的模逆，即满足 (e×d) mod φ(n) = 1。
     示例中：找 d 使得 (7×d) mod 20=1，计算得 d=3（7×3=21，21 mod20=1）。

最终结果：

• 公钥（可公开给任何人）：(e=7, n=33)
• 私钥（必须妥善保管，绝不可泄露）：(d=3, n=33)

步骤 2：用公钥加密（明文→密文）

假设 A 要给 B 发送明文 m（需满足 m < n，若 m≥n 则分段加密），加密公式为：
密文c = (m^e) mod n

示例：A 要发送明文 m=5（5<33，无需分段），用 B 的公钥 (e=7, n=33) 加密：
c = (5^7) mod 33
计算过程：5^7=78125，78125 ÷33=2367 余 14 → 密文 c=14。
A 将密文 c=14 通过网络发给 B（即使被拦截，没有私钥也无法解密）。

步骤 3：用私钥解密（密文→明文）

B 收到密文 c 后，用自己的私钥 (d, n) 解密，解密公式为：
明文m = (c^d) mod n

示例：B 用私钥 (d=3, n=33) 解密密文 c=14：
m = (14^3) mod 33
计算过程：14^3=2744，2744 ÷33=83 余 5 → 明文 m=5，成功还原原始信息。

三、为什么 RSA 能成立？（数学本质）

很多人会疑惑：“为什么用公钥加密的内容，只有私钥能解密？” 核心是 “加密和解密的可逆性”，背后依赖一个数论定理：

对于任意整数 m（m <n），都满足 (m^e)^d ≡ m mod n，即 (m^e mod n)^d mod n = m。

简单推导一下（不用记，理解逻辑即可）：
因为 d 是 e 的模逆，所以 e×d = k×φ(n) + 1（k 是整数）。代入后：
m^(e×d) = m^(k×φ(n)+1) = (m^φ(n))^k × m

根据欧拉定理：若 m 与 n 互质，则 m^φ(n) ≡ 1 mod n。因此：
(m^φ(n))^k ≡ 1^k = 1 mod n → m^(e×d) ≡ 1×m = m mod n

这就证明了：加密后的密文 c，再经过 d 次幂取模，必然能还原出明文 m。

四、RSA 的安全性：为什么私钥很难被破解？

RSA 的安全基础是 **“大整数分解难题”**—— 这个 “难题” 是指：

• 公钥中公开了 n，但 n 是两个大质数 p 和 q 的乘积（n=p×q）；
• 要破解私钥 d，必须先知道 φ(n)，而 φ(n)=(p-1)(q-1)，因此必须先分解 n 找到 p 和 q；
• 当 p 和 q 是几百位的大质数时（如 2048 位或 4096 位），即使动用超级计算机，也无法在合理时间内分解 n。

举个直观例子：若 p 和 q 是 100 位质数，n 就是 200 位数字。要分解这个 200 位数字，即使全球所有超级计算机同时计算，也需要几百年甚至更久 —— 这就是 RSA 安全的核心逻辑。

五、RSA 的实际应用场景

RSA 虽安全，但计算效率较低（相比对称加密），因此实际应用中很少用它直接加密大量数据，而是用于以下核心场景：

1. 密钥交换（HTTPS 的核心）

在 HTTPS 通信中，客户端和服务器先通过 RSA 交换 “对称加密密钥”（如 AES 密钥）：

• 客户端用服务器的公钥加密 AES 密钥，发给服务器；
• 服务器用私钥解密得到 AES 密钥；
• 后续的网页内容、图片等数据，都用 AES 加密传输（兼顾 RSA 的安全性和 AES 的高效性）。

2. 数字签名（防篡改、防抵赖）

在电子合同、软件发布等场景中，RSA 用于 “数字签名”：

• 发送方用自己的私钥对数据（如合同内容、软件哈希值）“签名”（相当于用私钥加密）；
• 接收方用发送方的公钥验证签名（相当于用公钥解密）；
• 若验证成功，说明数据未被篡改，且确实来自发送方（私钥唯一，无法抵赖）。

总结：RSA 的核心逻辑一句话讲清

RSA 本质是 “用数学上的单向难题（乘法易、分解难）构建非对称加密”：

1. 用两个大质数生成公钥（e,n）和私钥（d,n）；
2. 公钥加密（m^e mod n），私钥解密（c^d mod n）；
3. 只要 p 和 q 足够大，就没人能通过 n 分解出 p 和 q，私钥就无法被破解。

作为现代网络安全的基石，RSA 的逻辑并不复杂 —— 关键是理解 “质数、欧拉函数、模逆” 这三个积木，以及 “大整数分解” 这个安全核心。希望本文能帮你真正读懂 RSA～